実効値

実効値とは交流電圧\(v(t)\)が直流電圧\(V\)と同じ電力を発生する値のことである。 周期を\(T\)とすると実効値は以下の式で定義される。 \begin{align} V=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v(t)^2 dt} \end{align} 正弦波交流\(v(t)=V_m\sin (ωt)\)で与えられるときの実効値は \begin{align} V &= \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T \{V_m\sin (ωt)\}^2 dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T {V_m}^2\sin^2 (ωt) dt} \\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{T}\int_0^T \sin^2 (ωt) dt} \end{align} ここで，\(\sin^2 (ωt)=\frac{1-\cos(2ωt)}{2}\)より \begin{align} V&=\sqrt{\frac{{V_m}^2}{T}\int_0^T \frac{1-\cos(2ωt)}{2} dt} \\ &=\sqrt{\frac{{V_m}^2}{2T}\int_0^T \{1-\cos(2ωt)\} dt} \end{align} 積分すると \begin{align} V&=\sqrt{\frac{{V_m}^2}{2T} [t-\frac{1}{2ω}\sin(2ωt)]_0^T }\\ &=\sqrt{\frac{{V_m}^2}{2T} \{T-\frac{1}{2ω}\sin(2ωT)\} }\\ \end{align} 一周期は\(ω=2πf\)より\(ω=2π/T\)であるので \begin{align} \sin(2ωT)=\sin(4π)=0 \end{align} よって， \begin{align} V=\sqrt{\frac{{V_m}^2}{2}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}} \end{align} となり，正弦波の最大値の\(1/\sqrt{2}\)倍である。同様に交流電流\(i(t)\)のときの電流の実効値\(I\)は \begin{align} I=\frac{I_m}{\sqrt{2}} \end{align} となる。

はじめに

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