電力

電力とは抵抗器によって消費する1秒間あたりの電気の仕事量である。 時間的に変化がない回路においての電力\(P\)は
\begin{align} P=VI=RI^2=\frac{V^2}{R} \end{align} となり，単位は[W]である。\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)，\(i(t)=I_m\sin(\omega t+ \phi)\)の交流回路においては瞬間電力\(p(t)\)は
\begin{align} p(t)=v(t)i(t)=V_m\sin(\omega t)I_m\sin(\omega t+ \phi) \end{align} となり，\(\frac{1}{2}\sin \alpha \sin \beta =\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)\)より
\begin{align} p(t)&=V_mI_m\sin(\omega t)\sin(\omega t+ \phi)\\ &=\frac{V_mI_m}{2}[\cos\{\omega t-(\omega t+ \phi)\}-\cos\{\omega t+(\omega t+ \phi)\}]\\ &=\frac{V_mI_m}{2}\{\cos(\phi)-\cos(2\omega t+ \phi)\} \end{align} となる。また，平均電力\(P\)は周期を\(T\)とすると
\begin{align} P=\frac{1}{T}\int_0^T p(t)dt=\frac{1}{T}\int_0^T \biggr[\frac{V_mI_m}{2}\{\cos(\phi)-\cos(2\omega t+ \phi)\} \biggr]dt \end{align} ここで，\(T=1/f\)，\(ω=2πf\)より\(ω=2π/T\)より \begin{align} P=\frac{1}{T}\int_0^T \cos(2\omega t+ \phi)dt =0 \end{align} となるので， \begin{align} P=\frac{V_mI_m}{2}\cos(\phi) \end{align} となる。この電力を有効電力といい，電圧と電流の位相の余弦を力率いう。
有効電力に対して
\begin{align} H=\frac{V_mI_m}{2} \end{align} を皮相電力\(H\)といい，単位は[VA]である。また
\begin{align} Q=\frac{V_mI_m}{2}\sin(\phi) \end{align} を無効電力\(Q\)といい，単位は[var]である。
電圧\(V\)と電流\(I\)を実効値とすると，それぞれ \begin{align} V_m=\sqrt{2}V \\ I_m=\sqrt{2}I \end{align} となるので， \begin{align} P=VI\cos(\phi) \end{align} \begin{align} H=VI \end{align} \begin{align} Q=VI\sin(\phi) \end{align} となる。

はじめに

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