枝電流法
枝電流法はキルヒホッフの法則を適用し枝の電流を仮定する方法である。上記の回路の枝に流れる電流を\(I_1\)，\(I_2\)，\(I_3\)とするとキルヒホッフの第一法則より
\begin{align}
I_1+I_2=I_3
\end{align}
キルヒホッフの第二法則より，閉路aでは
\begin{align}
V_1-R_1I_1&+R_2I_2-V_2=0\\
V_1-V_2&=R_1I_1-R_2I_2
\end{align}
閉路bでは
\begin{align}
V_2-R_2I_2&-R_3I_3=0\\
V_2=R_2&I_2+R_3I_3
\end{align}
となる。閉路bの式に第一法則の式の\(I_3\)を代入すると
\begin{align}
V_2=R_2I_2+R_3(I_1+I_2)
\end{align}
となり，\(I_1\)について整理すると
\begin{align}
I_1=\frac{V_2-(R_2+R_3)I_2}{R_3}
\end{align}
となる。これを閉路aの式に代入すると
\begin{align}
V_1-V_2=R_1\frac{V_2-(R_2+R_3)I_2}{R_3}-R_2I_2
\end{align}
となり，\(I_2\)について整理すると
\begin{align}
(V_1-V_2)R_3&=R_1V_2-(R_2+R_3)R_1I_2-R_2R_3I_2\\
I_2&=\frac{R_1V_2-(V_1-V_2)R_3}{(R_2+R_3)R_1+R_2R_3}\\
&=\frac{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。これを\(I_1\)に代入すると
\begin{align}
I_1&=\frac{V_2-(R_2+R_3)\frac{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}}{R_3}\\
&=\frac{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)V_2-(R_2+R_3)\{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1\}}{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)R_3}\\
&=\frac{(R_2+R_3)R_3V_1-{R_3}^2 V_2}{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)R_3}\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3 V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。よって\(I_1\)，\(I_2\)より\(I_3\)は
\begin{align}
I_3&=I_1+I_2\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3 V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}+\frac{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3 V_2+(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。
基本法則及び定理
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