重ね合わせの理
複数の電源がある場合，各電源を別々にした回路の電流の和を求めることにより，元の回路の電流を求めるられる。これを重ね合わせの理という。
\begin{align}
I=I'+I''
\end{align}
上記の回路の場合，電流は以下のように表される。
\begin{align}
I_1&=I_1'-I_1''\\
I_2&=-I_2'+I_2''\\
I_3&=I_3'+I_3''
\end{align}
まず，\(V_1\)の回路の合成抵抗\(R'\)は
\begin{align}
R'&=R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}\\
&=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2+R_3}
\end{align}
となり，電流\(I_1'\)は
\begin{align}
I_1'&=\frac{V_1}{R'}\\
&=\frac{V_1}{\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2+R_3}}\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となるので，分流の法則より\(I_2'\)，\(I_3'\)は，それぞれ
\begin{align}
I_2'&=\frac{R_3}{R_2+R_3}I_1'\\
&=\frac{R_3}{R_2+R_3}\frac{(R_2+R_3)V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
\\
I_3'&=\frac{R_2}{R_2+R_3}I_1'\\
&=\frac{R_2}{R_2+R_3}\frac{(R_2+R_3)V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_2V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。同様に\(V_2\)の回路の合成抵抗\(R''\)は
\begin{align}
R''&=R_2+\frac{R_1R_3}{R_1+R_3}\\
&=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_3}
\end{align}
となり，電流\(I_2''\)は
\begin{align}
I_2''&=\frac{V_2}{R''}\\
&=\frac{V_2}{\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_3}}\\
&=\frac{(R_1+R_3)V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となるので，分流の法則より\(I_1''\)，\(I_3''\)は，それぞれ
\begin{align}
I_1''&=\frac{R_3}{R_1+R_3}I_2''\\
&=\frac{R_3}{R_1+R_3}\frac{(R_1+R_3)V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
\\
I_3''&=\frac{R_1}{R_1+R_3}I_2''\\
&=\frac{R_1}{R_1+R_3}\frac{(R_1+R_3)V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
よって，各電流は
\begin{align}
I_1&=I_1'-I_1''\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\frac{R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
\\
I_2&=-I_2'+I_2''\\
&=-\frac{R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}+\frac{(R_1+R_3)V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
\\
I_3&=I_3'+I_3''\\
&=\frac{R_2V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}+\frac{R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。
基本法則及び定理
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