閉路電流法
閉路電流法はキルヒホッフの第二法則を適用し閉路の電流を仮定する方法である。上記の回路に閉路電流\(I'\)，\(I''\)とし，抵抗\(R_1\)，\(R_2\)，\(R_3\)に流れる電流はそれぞれ\(I'\)，\(I''-I'\)，\(I''\)となる。ここで，キルヒホッフの法則を適用すると，閉路\(I'\)では
\begin{align}
V_1-R_1I'-R_2(I'-I'')-V_2=0\\
V_1-V_2=(R_1+R_2)I'-R_2I''
\end{align}
となり，閉路\(I''\)では
\begin{align}
V_2-R_2(I''-I')-R_3I'=0\\
V_2=(R_2+R_3)I''-R_2I'
\end{align}
となる。閉路\(I''\)の式より\(I'\)は
\begin{align}
I'=\frac{(R_2+R_3)I''-V_2}{R_2}
\end{align}
であるので，これを閉路\(I'\)の式の代入して
\begin{align}
V_1-V_2=(R_1+R_2)\frac{(R_2+R_3)I''-V_2}{R_2}-R_2I''
\end{align}
となるので，\(I''\)は
\begin{align}
(V_1-V_2)R_2=(R_1+R_2)(R_2+R_3)I''-(R_1+R_2)V_2-{R_2}^2I''\\
(V_1-V_2)R_2+(R_1+R_2)V_2=\{(R_1+R_2)(R_2+R_3)-{R_2}^2\}I''
\end{align}
\begin{align}
I''&=\frac{(V_1-V_2)R_2+(R_1+R_2)V_2}{(R_1+R_2)(R_2+R_3)-{R_2}^2}\\
&=\frac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。これを\(I'\)の式の代入して
\begin{align}
I'&=\frac{(R_2+R_3)\frac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-V_2}{R_2}\\
&=\frac{(R_2+R_3)(R_2V_1+R_1V_2)-(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)V_2}{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)R_2}\\
&=\frac{(R_2+R_3)R_2V_1+(R_2+R_3)R_1V_2-(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)V_2}{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)R_2}\\
&=\frac{(R_2+R_3)R_2V_1-R_2R_3V_2}{(R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1)R_2}\\
&=\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
\(I''-I'\)は
\begin{align}
I''-I'&=\frac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}-\frac{(R_2+R_3)V_1-R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{R_2V_1+R_1V_2-(R_2+R_3)V_1+R_3V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\\
&=\frac{(R_1+R_3)V_2-R_3V_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}
\end{align}
となる。
基本法則及び定理
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