RL直列回路(変数R)
RL直列回路に流れる電流\(\dot{I}\)は
\begin{align}
\dot{I}&=\frac{V}{R+j \omega L }=\frac{R-j \omega L }{R^2+(\omega L)^2 }V
\end{align}
である。ここで,
\begin{align}
\dot{I}&=x+jy
\end{align}
と置くと,以下のよう置ける
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 } (1)
\end{align}
\begin{align}
y&=\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 } (2)
\end{align}
式(1)(2)より,変数\(R\)は次のようになる
\begin{align}
\frac{y}{x}&=\frac{\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }}{\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }}=-\frac{\omega L}{R}
\end{align}
\begin{align}
R=-\omega L\frac{y}{x} (3)
\end{align}
ここで，(1)に(3)の\(R\)を代入し整理すると
\begin{align}
x&=\frac{-\omega L \frac{y}{x} V}{(-\omega L \frac{y}{x})^2+(\omega L)^2 }\\
&=\frac{-xyV}{(x^2+y^2)\omega L}\\
\end{align}
となり，両辺nの\(x\)を割り，\(x^2+y^2\)をかけると
\begin{align}
x^2+y^2&=-\frac{V}{\omega L}y\\
\end{align}
ここで，\(y\)について平方完成すると
\begin{align}
x^2+y^2+\frac{V}{\omega L}y&=0\\
x^2+y^2+\frac{V}{\omega L}y+\biggr(\frac{V}{2\omega L}\biggr)^2&=\biggr(\frac{V}{2\omega L}\biggr)^2\\
x^2+\biggr(y+\frac{V}{2\omega L}\biggr)^2&=\biggr(\frac{V}{2\omega L}\biggr)^2\\
\end{align}
となり，\(x=0\)，\(y=V/2\omega L\)の中心を持つ，半径\(-V/2\omega L\)の円の方程式である。よって電流\(\dot{I}\)のフェーザ軌跡は図のようになる。
フェーザ軌跡
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