RLC直列回路
RLC直列回路に流れる電流\(\dot{I}\)は
\begin{align}
\dot{I}&=\frac{V}{R+j \biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)}=\frac{R-j \biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr) }{R^2+\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)^2 }V
\end{align}
である。ここで，以下のようにおく
\begin{align}
\dot{I}&=x+jy
\end{align}
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)^2 }
\end{align}
\begin{align}
y&=\frac{- \biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr) V}{R^2+\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)^2 }
\end{align}
まず，\(y/x\)から\(\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)\)は
\begin{align}
\frac{y}{x}&=\frac{\frac{- \biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr) V}{R^2+\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)^2 }}{\frac{R V}{R^2+\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)^2 }}=-\frac{ \omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}
\end{align}
\begin{align}
\omega L - \frac{1}{\omega C}=-\frac{y}{x}R
\end{align}
となる。ここで，\(x\)に\(\biggr( \omega L - \frac{1}{\omega C}\biggr)\)を代入し整理すると
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+(-\frac{y}{x}R)^2 }\\
&=\frac{R V}{R^2+\frac{y^2}{x^2}R^2 }\\
&=\frac{V}{R+\frac{y^2}{x^2}R}\\
&=\frac{V}{ (1+\frac{y^2}{x^2})R}\\
\end{align}
となり，両辺に\(x\)をかけ，展開すると
\begin{align}
\biggr(1+\frac{y^2}{x^2}\biggr)x&=\frac{V}{R}\\
\biggr(1+\frac{y^2}{x^2}\biggr)x^2&=\frac{V}{R}x\\
x^2+y^2&=\frac{V}{R}x\\
\end{align}
ここで，\(x\)について平方完成すると
\begin{align}
x^2-\frac{V}{R}x+y^2&=0\\
x^2-\frac{V}{R}x+\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2+y^2&=\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2\\
\biggr(x-\frac{V}{2R}\biggr)^2+y^2&=\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2\\
\end{align}
となり，\(x=V/2R\)，\(y=0\)の中心を持つ，半径\(V/2R\)の円の方程式である。よって電流\(\dot{I}\)のフェーザ軌跡は図のようになる。
フェーザ軌跡
ホームに戻る