RL直列回路
RL直列回路に流れる電流\(\dot{I}\)は
\begin{align}
\dot{I}&=\frac{V}{R+j \omega L }=\frac{R-j \omega L }{R^2+(\omega L)^2 }V
\end{align}
である。ここで，以下のようにおく
\begin{align}
\dot{I}&=x+jy
\end{align}
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }
\end{align}
\begin{align}
y&=\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }
\end{align}
まず，\(y/x\)から\(\omega L\)は
\begin{align}
\frac{y}{x}&=\frac{\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }}{\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }}=-\frac{\omega L}{R}
\end{align}
\begin{align}
\omega L=-\frac{y}{x}R
\end{align}
となる。ここで，\(x\)に\(\omega L\)を代入し整理すると
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+(-\frac{y}{x}R)^2 }\\
&=\frac{R V}{R^2+\frac{y^2}{x^2}R^2 }\\
&=\frac{V}{R+\frac{y^2}{x^2}R}\\
&=\frac{V}{ (1+\frac{y^2}{x^2})R}\\
\end{align}
となり，両辺に\(x\)をかけ，展開すると
\begin{align}
\biggr(1+\frac{y^2}{x^2}\biggr)x&=\frac{V}{R}\\
\biggr(1+\frac{y^2}{x^2}\biggr)x^2&=\frac{V}{R}x\\
x^2+y^2&=\frac{V}{R}x\\
\end{align}
ここで，\(x\)について平方完成すると
\begin{align}
x^2-\frac{V}{R}x+y^2&=0\\
x^2-\frac{V}{R}x+\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2+y^2&=\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2\\
\biggr(x-\frac{V}{2R}\biggr)^2+y^2&=\biggr(\frac{V}{2R}\biggr)^2\\
\end{align}
となり，\(x=V/2R\)，\(y=0\)の中心を持つ，半径\(V/2R\)の円の方程式である。よって電流\(\dot{I}\)のフェーザ軌跡は図のようになる。
フェーザ軌跡
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