相互誘導回路
図は上辺から見て一次巻線が右巻，二次巻線が左巻あり，流れる交流電流\(i_1(t)\)，\(i_2(t)\)に位相差がないものとする。
電源\(v(t)\)が加えられ，一次コイルに電流\(i_1(t)\)が流れると，それにより磁束が生じる。
一次コイルと鎖交する磁束を\(\Phi _1(t)\)，二次コイルと鎖交する磁束を\(\Phi _{21}(t)\)とすると，ファラデーの電磁誘導の法則より，一次コイルに誘導にされる起電力\(e_{11}(t)\)，二次コイルに誘導にされる起電力\(e_{21}(t)\)は以下のようになる。
\begin{align}
e_{11}(t)&=- n_1 \frac{d \Phi _1(t)}{dt}=- L_1 \frac{d i_1(t)}{dt}\\
e_{21}(t)&=- n_2 \frac{d \Phi _{21}(t)}{dt}=- M \frac{d i_1(t)}{dt}\\
\end{align}
二次側に起電力が生じ，抵抗が接続されているので，二次電流\(i_2(t)\)が流れ，これにより磁束が生じる。
二次コイルと鎖交する磁束を\(\Phi _2(t)\)，一次コイルと鎖交する磁束を\(\Phi _{12}(t)\)とすると，二次コイルに誘導にされる起電力\(e_{22}(t)\)，一次コイルに誘導にされる起電力\(e_{12}(t)\)は以下のようになる。
\begin{align}
e_{22}(t)&=- n_2 \frac{d \Phi _2(t)}{dt}=- L_2 \frac{d i_2(t)}{dt}\\
e_{12}(t)&=- n_1 \frac{d \Phi _{12}(t)}{dt}=- M \frac{d i_2(t)}{dt}\\
\end{align}
この回路では，電流\(i_1(t)\)による磁束と電流\(i_2(t)\)による磁束が同じ向きであるので，起電力が同じ向きに発生する。よって一次側と二次側で次の式が成り立つ。
\begin{align}
v(t) + e_{11}(t) + e_{12}(t) =0 \\
\end{align}
\begin{align}
e_{21}(t) + e_{22}(t) - R_2i_2(t) =0 \\
\end{align}
インダクタンス\(L_1\)，\(L_2\)，\(M\)を用いると次のようになる。
\begin{align}
v(t)= L_1\frac{di_1(t)}{dt}+ M\frac{d i_2(t)}{dt}\\
\end{align}
\begin{align}
0 = R_2i_2(t) + L_2\frac{di_2(t)}{dt}+ M\frac{d i_1(t)}{dt}\\
\end{align}
これらを複素数表示にすると
\begin{align}
\dot{V}= j \omega L_1 \dot{I}_1+ j \omega M \dot{I}_2
\end{align}
\begin{align}
0 = R_2\dot{I}_2 + j \omega L_2 \dot{I}_2+ j \omega M \dot{I}_1
\end{align}
となる。これらの式より\(\dot{I}_2\)は
\begin{align}
\dot{I}_2 = \frac{ -j \omega M \dot{I}_1}{R_2 +j \omega L_2}
\end{align}
となり，一次側の式に\(\dot{I}_2\)を代入すると
\begin{align}
\dot{V}&= j \omega L_1 \dot{I}_1+ j \omega M \frac{- j \omega M \dot{I}_1}{R_2 +j \omega L_2}\\
&= j \omega L_1 \dot{I}_1+ \frac{ \omega^2 M^2 }{R_2 +j \omega L_2}\dot{I}_1\\
&= \biggr( j \omega L_1 + \frac{ \omega^2 M^2 }{R_2 +j \omega L_2} \biggr)\dot{I}_1\\
\end{align}
より，\(\dot{I}_1\)は
\begin{align}
\dot{I}_1&= \frac{\dot{V}}{j \omega L_1 + \frac{ \omega^2 M^2 }{R_2 +j \omega L_2}}\\
&=\frac{R_2 +j \omega L_2}{j \omega L_1(R_2 +j \omega L_2)+\omega^2 M^2}\dot{V}
\end{align}
となり，\(\dot{I}_2\)は
\begin{align}
\dot{I}_2 &= \frac{ -j \omega M \dot{I}_1}{R_2 +j \omega L_2}\\
&= \frac{ -j \omega M }{R_2 +j \omega L_2}\frac{R_2 +j \omega L_2}{j \omega L_1(R_2 +j \omega L_2)+\omega^2 M^2}\dot{V}\\
&= \frac{ -j \omega M }{ j \omega L_1(R_2 +j \omega L_2)+\omega^2 M^2}\dot{V}\\
\end{align}
となる。
相互誘導回路
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