相互誘導現象の瞬時値
図は上辺から見て一次巻線が右巻，二次巻線が左巻であり，電流\(i_1(t)\)を基準とする。
一次巻線の巻数を\(n_1\)，二次巻線の巻数を\(n_2\)とする。二次巻線を解放した状態で交流電圧\(v(t)\)を加えると，電流\(i_1(t)\)が流れ，それにより電界が生じ，コイル1と磁束が鎖交し，その一部はコイル2とも鎖交する。
コイル1と鎖交する磁束を\(\Phi _1(t)\)，コイル2と鎖交する磁束を\(\Phi _{2}(t)\)とすると，ファラデーの電磁誘導の法則より，コイル1に誘導にされる起電力\(e_{1}(t)\)，コイル2に誘導にされる起電力\(e_{2}(t)\)は以下のようになる。
\begin{align}
e_{1}(t)&=- n_1 \frac{d \Phi _1(t)}{dt}\\
e_{2}(t)&=- n_2 \frac{d \Phi _{2}(t)}{dt}\\
\end{align}
また，キルヒホッフの法則より
\begin{align}
v(t)+e_1(t)&=0\\
\end{align}
となるので，電圧\(v(t)\)は
\begin{align}
v(t)=-e_1(t)=n_1 \frac{d \Phi _1(t)}{dt}\\
\end{align}
となり，自己インダクタンス\(L\)と磁束鎖交数\(\Phi_1(t)\)には
\begin{align}
n_1 \Phi _1(t)&=L i_1(t)\\
\end{align}
の関係があるので
\begin{align}
v(t)=n_1 \frac{d \Phi _1(t)}{dt}=L\frac{di_1(t)}{dt}\\
\end{align}
となる。ここで，印加する電圧\(v(t)=V_m \sin(\omega t)\)とすると一次電流\(i_1(t)\)は
\begin{align}
v(t)=L\frac{di_1(t)}{dt}
\end{align}
より
\begin{align}
i_1 (t)&=\frac{1}{L}\int v(t)dt\\
&=\frac{V_m}{L_1} \int \sin (\omega t)dt\\
&=-\frac{V_m}{\omega L}\cos (\omega t)\\
&=-\frac{V_m}{\omega L}\sin \biggr(\frac{\pi}{2} -\omega t\biggr)\\
&=\frac{V_m}{\omega L}\sin \biggr(\omega t - \frac{\pi}{2} \biggr)
\end{align}
となる。
コイル1に鎖交する磁束\(\Phi_1(t)\)は
\begin{align}
\Phi_1(t)=\frac{L}{n_1} i_1(t) =\frac{V_m}{\omega n_1} \sin \biggr(\omega t - \frac{\pi}{2} \biggr)
\end{align}
となる。コイル2に鎖交する磁束\(\Phi_2(t)\)は相互インダクタンス\(M\)と
\begin{align}
n_2 \Phi _{2}(t)&=Mi_1(t)
\end{align}
の関係があるので
\begin{align}
\Phi_2(t)=\frac{M}{n_2} i_1(t) =\frac{MV_m}{ \omega L n_2} \sin \biggr(\omega t - \frac{\pi}{2} \biggr)
\end{align}
となる。一次側の起電力\(e_1(t)\)は
\begin{align}
e_{1}&=- n_1 \frac{d \Phi _1(t)}{dt}\\
&=-\frac{V_m}{\omega }\frac{d}{dt}\ \sin \biggr(\omega t - \frac{\pi}{2} \biggr)\\
&=\frac{V_m}{\omega }\frac{d}{dt}\ \sin \biggr( \frac{\pi}{2} -\omega t\biggr)\\
&=\frac{V_m}{\omega }\frac{d}{dt}\ \cos(\omega t)\\
&=-V_m \sin (\omega t)
\end{align}
となり，二次側の起電力\(e_2(t)\)は
\begin{align}
e_{2}&=- n_2 \frac{d \Phi _{2}(t)}{dt}\\
&=-\frac{MV_m}{ \omega L } \frac{d}{dt}\sin \biggr(\omega t - \frac{\pi}{2} \biggr)\\
&=\frac{MV_m}{ \omega L } \frac{d}{dt}\sin \biggr( \frac{\pi}{2}- \omega t\biggr)\\
&=\frac{MV_m}{ \omega L } \frac{d}{dt}\cos(\omega t)\\
&=-\frac{M}{L } V_m\frac{d}{dt}\sin(\omega t)\\
\end{align}
となる。二次巻線を解放しているため，二次電流は流れない。
相互誘導回路
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