相電流と線間電流
三相全体で消費される電力は各相で消費される電力の総和である。相電圧が
\begin{align}
e_{ab}(t)=&\sqrt{2}E \sin (\omega t)\\
e_{bc}(t)=&\sqrt{2}E \sin \biggr(\omega t - \frac{2\pi}{3}\biggr)\\
e_{ca}(t)=&\sqrt{2}E \sin \biggr(\omega t - \frac{4\pi}{3}\biggr)
\end{align}
\begin{align}
\sqrt{2}E=E_m
\end{align}
であるときの各電流は
\begin{align}
i_{ab}(t)=&\sqrt{2}I \sin (\omega t -\phi)\\
i_{bc}(t)=&\sqrt{2}I \sin \biggr(\omega t - \frac{2\pi}{3}-\phi\biggr)\\
i_{ca}(t)=&\sqrt{2}I \sin \biggr(\omega t - \frac{4\pi}{3}-\phi\biggr)
\end{align}
\begin{align}
I=\frac{E}{|Z_s|}
\end{align}
\begin{align}
|Z_s|=\sqrt{R^2+X^2}
\end{align}
\begin{align}
\phi=\tan^{-1}\frac{X}{R}
\end{align}
である。このとき瞬時電力\(p_{ab}(t)\)は
\begin{align}
p_{ab}(t)=&e_{ab}(t)i_{ab}(t)\\
=&\sqrt{2}E \sin (\omega t)\sqrt{2}I \sin (\omega t -\phi)\\
=&2EI \sin (\omega t)\sin (\omega t -\phi)\\
=&EI\bigr\{ \cos(\omega t-\omega t+ \phi)- \cos(\omega t+ \omega t -\phi) \bigr\}\\
=&EI\bigr\{ \cos(\phi)- \cos(2\omega t -\phi) \bigr\}\\
\end{align}
となり，同様\(p_{bc}(t)\)，\(p_{ca}(t)\)は
\begin{align}
p_{bc}(t)=&e_{bc}(t)i_{bc}(t)\\
=&EI\biggr\{ \cos(\phi)- \cos \biggr(2\omega t- \frac{2\pi}{3} -\phi \biggr) \biggr\}\\
\end{align}
\begin{align}
p_{ca}(t)=&e_{ca}(t)i_{ca}(t)\\
=&EI\biggr\{ \cos(\phi)- \cos \biggr(2\omega t- \frac{4\pi}{3} -\phi \biggr) \biggr\}\\
\end{align}
となる。よって電力の総和\(p(t)\)は
\begin{align}
p(t)=&e_{ab}(t)i_{ab}(t)+e_{bc}(t)i_{bc}(t)+e_{ca}(t)i_{ca}(t)\\
=&EI\bigr\{ \cos(\phi)- \cos(2\omega t -\phi) \bigr\}\\
& +EI\biggr\{ \cos(\phi)- \cos \biggr(2\omega t- \frac{2\pi}{3} -\phi \biggr)\biggr\}\\
& +EI\biggr\{ \cos(\phi)- \cos \biggr(2\omega t- \frac{2\pi}{3} -\phi \biggr) \biggr\}\\
=&3EI\cos(\phi)-EI\biggr\{\cos(2\omega t -\phi)\\
& +\cos \biggr(2\omega t- \frac{2\pi}{3} -\phi \biggr) +\cos \biggr(2\omega t- \frac{4\pi}{3} -\phi \biggr)\biggr\}\\
\end{align}
ここで，\(\theta=2\omega t -\phi\)と置いて第二項を計算すると
\begin{align}
&\cos ( \theta)+\cos \biggr( \theta- \frac{2\pi}{3} \biggr) + \cos \biggr( \theta- \frac{4\pi}{3} \biggr)\\
=&\cos ( \theta)\\
&+\cos(\theta)\cos \biggr(\frac{2\pi}{3} \biggr)+\sin ( \theta)\sin \biggr( \frac{2\pi}{3} \biggr)\\
&+\cos(\theta)\cos \biggr(\frac{4\pi}{3} \biggr)+\sin ( \theta)\sin \biggr( \frac{4\pi}{3} \biggr)\\
=&\cos ( \theta)\\
&-\frac{1}{2}\cos(\theta)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin ( \theta)\\
&-\frac{1}{2}\cos(\theta)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin ( \theta)\\
=&0
\end{align}
よって，第二項が0となるので
\begin{align}
p(t)=&3EI\cos(\phi)
\end{align}
となる。これは，全体の消費電力は常に一定値であることを表してる。また，線間電圧と相電圧には
\begin{align}
V=E
\end{align}
の関係があり，相電流と線間電流には
\begin{align}
i_{a}(t)=&\sqrt{3}i_{ab}(t)\\
i_{b}(t)=&\sqrt{3}i_{bc}(t)\\
i_{c}(t)=&\sqrt{3}i_{ca}(t)\\
\end{align}
の関係があるので
\begin{align}
p(t)=&\sqrt{3}VI\cos(\phi)
\end{align}
となる。
平衡三相回路Δ形-Δ型
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