問題5
問 RL直列回路でRの値を変化させた場合の電流のフェーザ軌跡を求めよ。
回答
RL直列回路に流れる電流\(\dot{I}\)は
\begin{align}
\dot{I}&=\frac{V}{R+j \omega L }=\frac{R-j \omega L }{R^2+(\omega L)^2 }V
\end{align}
である。ここで，以下のようにおく
\begin{align}
\dot{I}&=x+jy
\end{align}
\begin{align}
x&=\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }
\end{align}
\begin{align}
y&=\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }
\end{align}
まず，\(x/y\)から\(R\)は
\begin{align}
\frac{x}{y}&=\frac{\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }}{\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }}=\frac{R}{- \omega L}
\end{align}
\begin{align}
R=- \omega L\frac{x}{y}
\end{align}
となり，\(y\)の式に代入し整理すると
\begin{align}
y&=\frac{- \omega L V}{{(- \omega L\frac{x}{y})}^2+(\omega L)^2 }\\
&=\frac{- \omega L V}{( \omega L)^2\frac{x^2}{y^2}+(\omega L)^2 }\\
&=\frac{- V}{\omega L\frac{x^2}{y^2}+\omega L }\\
&=\frac{- V}{(\frac{x^2}{y^2}+1)\omega L }\\
\end{align}
となり，両辺に\(y\)をかけ，展開すると
\begin{align}
\biggr(\frac{x^2}{y^2}+1 \biggr)y&=-\frac{ V}{\omega L }\\
\biggr(\frac{x^2}{y^2}+1 \biggr)y^2&=-\frac{ V}{\omega L }y\\
x^2+y^2&=-\frac{ V}{\omega L }y\\
\end{align}
ここで，\(y\)について平方完成すると
\begin{align}
x^2+y^2+\frac{ V}{\omega L }y&=0\\
x^2+y^2+\frac{ V}{\omega L }y+\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2&=\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2\\
x^2+\biggr(y+\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2&=\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2\\
\end{align}
となり\(x=0\)，\(y=-V/2 \omega L\)の中心を持つ，半径\(V/2 \omega L\)の方程式となる。
よって電流\(\dot{I}\)のフェーザ軌跡は図のようになる。
参考ページ
フェーザ軌跡/RL直列回路 電流のフェーザ軌跡
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