問題5

問　RL直列回路でRの値を変化させた場合の電流のフェーザ軌跡を求めよ。

回答
RL直列回路に流れる電流

$\dot{I}$ は

$\begin{align} \dot{I}&=\frac{V}{R+j \omega L }=\frac{R-j \omega L }{R^2+(\omega L)^2 }V \end{align}$ である。ここで，以下のようにおく

$\begin{align} \dot{I}&=x+jy \end{align}$

$\begin{align} x&=\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 } \end{align}$

$\begin{align} y&=\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 } \end{align}$ まず，

$x/y$ から

$R$ は

$\begin{align} \frac{x}{y}&=\frac{\frac{R V}{R^2+(\omega L)^2 }}{\frac{- \omega L V}{R^2+(\omega L)^2 }}=\frac{R}{- \omega L} \end{align}$

$\begin{align} R=- \omega L\frac{x}{y} \end{align}$ となり，

$y$ の式に代入し整理すると

$\begin{align} y&=\frac{- \omega L V}{{(- \omega L\frac{x}{y})}^2+(\omega L)^2 }\\ &=\frac{- \omega L V}{( \omega L)^2\frac{x^2}{y^2}+(\omega L)^2 }\\ &=\frac{- V}{\omega L\frac{x^2}{y^2}+\omega L }\\ &=\frac{- V}{(\frac{x^2}{y^2}+1)\omega L }\\ \end{align}$ となり，両辺に

$y$ をかけ，展開すると

$\begin{align} \biggr(\frac{x^2}{y^2}+1 \biggr)y&=-\frac{ V}{\omega L }\\ \biggr(\frac{x^2}{y^2}+1 \biggr)y^2&=-\frac{ V}{\omega L }y\\ x^2+y^2&=-\frac{ V}{\omega L }y\\ \end{align}$ ここで，

$y$ について平方完成すると

$\begin{align} x^2+y^2+\frac{ V}{\omega L }y&=0\\ x^2+y^2+\frac{ V}{\omega L }y+\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2&=\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2\\ x^2+\biggr(y+\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2&=\biggr(\frac{ V}{2\omega L }\biggr)^2\\ \end{align}$ となり

$x=0$ ，

$y=-V/2 \omega L$ の中心を持つ，半径

$V/2 \omega L$ の方程式となる。よって電流

$\dot{I}$ のフェーザ軌跡は図のようになる。

参考ページ
フェーザ軌跡/RL直列回路　電流のフェーザ軌跡

問題に戻る

問題一覧

ホームに戻る