R回路
電圧と電流の位相差より電圧\(v(t)\)と電流\(i(t)\)の瞬時値が
\begin{align}
v(t)=V_m\sin(\omega t)\\
i(t)=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)
\end{align}
であるときの瞬時電力\(p(t)\)は
\begin{align}
p(t)&=v(t)i(t)\\
&=V_m\sin(\omega t)\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)\\
\end{align}
である。ここで，\(\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}\{1-\cos(2\alpha)\}\)より
\begin{align}
p(t)=\frac{{V_m}^2}{2R}\{1-\cos(2\omega t)\}
\end{align}
となり，有効電力\(P\)は，瞬時電力の時間平均であるから，周期を\(T\)として
\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{{V_m}^2}{2R}\{1-\cos(2\omega t)\}dt
\end{align}
ここで，\(T=1/f\)，\(\omega = 2 \pi f\) なので，\(T=2 \pi f / \omega \)より
\begin{align}
\int_0^T\cos(2\omega t)dt=0
\end{align}
なので，
\begin{align}
P&=\frac{{V_m}^2}{2R}
\end{align}
となる。また，皮相電力\(H\)と無効電力\(Q\)は
\begin{align}
H=\frac{{V_m}^2}{2R}
\end{align}
\begin{align}
Q=0
\end{align}
である。\(V\)と\(I\)をそれぞれ，電圧電流の実効値とすれば
\begin{align}
V_m = \sqrt{2} V \\
I_m = \sqrt{2} I
\end{align}
となるので，有効電力は
\begin{align}
P&=\frac{V^2}{R}=RI^2
\end{align}
となる。
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