問題8
問 \(\pi\)形二端子対回路のY行列を求めよ。
解答 二端子対回路のYパラメータは
\begin{align}
I_1=Y_{11}V_1+Y_{12}V_2\\
I_2=Y_{21}V_1+Y_{22}V_2\\
\end{align}
であり，Y行列及び各パラメータは以下で表される。
\begin{align}
\left[
\begin{array}{r}
Y
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{rr}
Y_{11} & Y_{12} \\
Y_{21} & Y_{22} \\
\end{array}
\right]
\end{align}
\begin{align}
Y_{11}=\frac{I_1}{V_1} \Biggr|_{V_2=0}
\end{align}
\begin{align}
Y_{12}=\frac{I_1}{V_2} \Biggr|_{V_1=0}
\end{align}
\begin{align}
Y_{21}=\frac{I_2}{V_1} \Biggr|_{V_2=0}
\end{align}
\begin{align}
Y_{22}=\frac{I_2}{V_2} \Biggr|_{V_1=0}
\end{align}
\(Y_{11}\)及び\(Y_{21}\)は図(a)のように\(V_2\)を短絡して考える。短絡して\(V_2=0\)となると\(Y_c\)での電圧\(V_c=0\)なり，\(Y_c\)に流れる電流\(I_c\)は\(I_c=Y_cV_c=0\)となる。\(Y_c\)に電流は流れないので\(Y_c\)は削除できるので図(b)のようになる。
\(I_1\)及び\(I_2\)は
\begin{align}
I_1=Y_aV_1+Y_bV_1=(Y_a+Y_b)V_1
\end{align}
\begin{align}
I_2=-Y_aV_1
\end{align}
となるので\(Y_{11}\)及び\(Y_{21}\)は
\begin{align}
Y_{11}=\frac{I_1}{V_1}=\frac{(Y_a+Y_b)V_1}{V_1}=Y_a+Y_b
\end{align}
\begin{align}
Y_{21}=\frac{I_2}{V_1}=\frac{-Y_aV_1}{V_1}=-Y_a
\end{align}
となる。
同様に\(Y_{12}\)及び\(Y_{22}\)は図(c)のように\(V_1\)を短絡して考える。短絡して\(V_1=0\)となると\(Y_b\)での電圧\(V_b=0\)なり，\(Y_b\)に流れる電流\(I_b\)は\(I_b=Y_bV_b=0\)となる。\(Y_b\)に電流は流れないので\(Y_b\)は削除できるので図(d)のようになる。
\(I_1\)及び\(I_2\)は
\begin{align}
I_1=-Y_aV_2
\end{align}
\begin{align}
I_2=Y_aV_2+Y_cV_2=(Y_a+Y_c)V_2
\end{align}
となるので\(Y_{12}\)及び\(Y_{22}\)は
\begin{align}
Y_{12}=\frac{I_1}{V_2}=\frac{-Y_CV_2}{V_2}=-Y_a
\end{align}
\begin{align}
Y_{22}=\frac{I_2}{V_2}=\frac{(Y_a+Y_c)V_2}{V_2}=Y_a+Y_c
\end{align}
となる。
よって，Y行列は
\begin{align}
\left[
\begin{array}{r}
Y
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{rr}
Y_{11} & Y_{12} \\
Y_{21} & Y_{22} \\
\end{array}
\right]
= \left[
\begin{array}{cc}
Y_a+Y_b & -Y_a \\
-Y_a & Y_a+Y_c \\
\end{array}
\right]
\end{align}
となる。
参考ページ
二端子対回路/Yパラメータ
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