電界

Chapter4 ～電位と電位差～

電位

　上図に示すように、一様な電界

$\boldsymbol{E}$ [N/C]の中に置かれた点電荷

$q$ [C]は、電気力

$\boldsymbol{V}=q\boldsymbol{E}$ [N]を受ける。したがって、電荷が電界の向きに距離

$d$ [m]移動するとき、電界のする仕事

$W$ [J]は

$W =Fd=qEd=qV$
と表される。ここで電位差

$V$ (電圧)と電界

$E$ は

$V =Ed$ または

$E= \frac{V}{d}$ の関係がある。電位差の単位はV(ボルト)である。電界の単位は[V/m]で表される。

等電位線

　電位とは、地図でいうと山の高さに相当する。山が高いほど（電位が高いほど）エネルギーは大きい。ではこの勾配は何を表すか。
静電界は静止した電荷を源泉とするベクトル場である。このベクトル場からスカラー量である電位が定義された。このように、空間の各点でスカラー量が定義される場をスカラー場という。電位の場はスカラー場である。
　電位Ｖのスカラー場が与えられたとき電界

$\boldsymbol{E}$ を導くにはどう考えるか。
　接近した2点

$P_1$ ,

$P_2$ をとる。

$P_1$ での電界を

$\boldsymbol{E}$ 、両点を結ぶ微小ベクトルを

$d\boldsymbol{s}$ とする。このとき、

$V_{12}=V_{P_2}-V_{P_1} = \frac {W_{12}} {q}$

$=-\int_{P_{1}}^{P_{2}} \boldsymbol{E}・d \boldsymbol{s}$ であるから、

$d\boldsymbol{s}$ が十分小さいとすれば、微小電位差

$dV$ は

$dV=-\boldsymbol{E・}d\boldsymbol{s}$

$=-E・\mathrm{cos}\theta・ds=-E_sds$ ここで、

$\theta$ は

$\boldsymbol{E}$ と

$d\boldsymbol{s}$ のなす角度であり、

$E_s$ は点

$P_1$ における電界

$\boldsymbol{E}$ のs方向成分、すなわち、

$E_s \mathrm{cos}\theta$ である。したがって

$E_s=-\frac{dV}{ds}$ が導かれる。このようにして、任意の方向の電界の成分を求めることが出来る。直交座標の場合に、

$x,y,z$ 方向の成分は

$E_x=-\frac{\partial V}{\partial x},$

$E_y=-\frac{\partial V}{\partial y},$

$E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$ によって与えられる。このように電界ベクトル

$\boldsymbol{E}$ の

$x,y,z$ 成分を電位

$V$ で示せるから、

$\boldsymbol{E}$ の表式としては

$E=E_x\boldsymbol{i}+E_y\boldsymbol{j}+E_z\boldsymbol{k}$

$=-(\boldsymbol{i}\frac{\partial V}{\partial x}+\boldsymbol{j}\frac{\partial V}{\partial y}+\boldsymbol{k}\frac{\partial V}{\partial z})$ これをgrad

$V$ で表すと

$\mathrm{grad} V=∇V$

$=\boldsymbol{i}\frac{\partial V}{\partial x}+\boldsymbol{j}\frac{\partial V}{\partial y}+\boldsymbol{k}\frac{\partial V}{\partial z}$ これを簡潔に書くと

$\boldsymbol{E}=-\mathrm{grad}V=-∇V$ これが

$V$ から電界

$\boldsymbol{E}$ を導くことが出来る。　電位の等しい点を連ねてできる面を等電位面という。上図に正負等量の電荷の作る電界と等電位面の様子を示す。
一定の電位差ごとに等電位面をかくと、間隔が狭いところほど電界が強い。一般に等電位面は電気力線に垂直である。（図はイメージです）
等電位線は地図でいう等高線に相当する。

地図でいうと正電荷は山、負電荷は谷と置き換えて考えるとイメージできるだろうか。
ただし、この電荷の現象は平面上での現象である、ここでは電位差を高低差と例えている。

～電位と電位差～
Chapter3～電気力線と電束～

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