RL直列回路
RL直列回路に電圧\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)を加え，求める電流\(i(t)\)を以下のようにおく
\begin{align}
i(t)=I_m\sin(\omega t+ \theta)
\end{align}
抵抗の電圧\(v_R(t)\)は，オームの法則より，抵抗を\(R\)として
\begin{align}
v_R(t)=RI_m\sin(\omega t+ \theta)
\end{align}
コイルの電圧\(v_L(t)\)は，自己インダクタンスを\(L\)[H]として
\begin{align}
v_L(t)&=L\frac{di(t)}{dt} \\
&=LI_m\frac{d}{dt} \sin (\omega t+ \theta)\\
&=\omega LI_m\cos(\omega t+ \theta)
\end{align}
よって，電圧\(v(t)\)は
\begin{align}
v(t)&=v_R(t)+v_L(t)\\
&=RI_m\sin(\omega t+ \theta )+\omega LI_m\cos(\omega t+ \theta )
\end{align}
となり，三角関数の合成より，以下のように変形する。
\begin{align}
v(t)&=\frac{\sqrt{R^2+ {\omega }^2L^2}}{\sqrt{R^2+ {\omega }^2L^2}} \bigl\{ RI_m\sin(\omega t+ \theta )+\omega LI_m\cos(\omega t+ \theta ) \bigr\} \\
&=I_m\sqrt{R^2+ {\omega }^2L^2} \Bigl\{ \frac{R\sin(\omega t+ \theta )}{\sqrt{R^2+ {\omega }^2L^2}} + \frac{\omega L\cos(\omega t+ \theta ) }{\sqrt{R^2+ {\omega }^2L^2}} \Bigr\}
\end{align}
ここで，以下のように置くと
\begin{align}
\frac{R}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}= \cos(\phi )>0\\
\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}= \sin(\phi )>0
\end{align}
電圧\(v(t)\)は
\begin{align}
v(t)&=I_m\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2} \bigl\{ \sin(\omega t+ \theta )\cos(\phi )+ \cos(\omega t+ \theta )\sin(\phi ) \bigr\} \\
&=I_m\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}\sin(\omega t+ \theta + \phi )
\end{align}
加えた電圧\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)と比較すると
\begin{align}
V_m&=I_m\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}\\
I_m&=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\\
\omega t &= \omega t + \theta + \phi \\
\theta &=- \phi
\end{align}
となり，\(\sin(\phi ) >0， \cos(\phi) >0 \)より
\begin{align}
\tan(\phi )&=\frac{\sin(\phi )}{\cos(\phi )}=\frac{\frac{\omega L}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}}{\frac{R}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}}=\frac{\omega L}{R}\\
\phi &=\tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr)
\end{align}
より
\begin{align}
\theta &=-\tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr)
\end{align}
よって，求める電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\sin \Bigr\{\omega t-\tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \Bigr\}
\end{align}
となる。図の波形は電流\(i(t)\)を基準としている。
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