RL直列回路
電圧と電流の位相差より電圧\(v(t)\)と電流\(i(t)\)の瞬時値が
\begin{align}
v(t)&=V_m\sin(\omega t)
\end{align}
\begin{align}
i(t)&=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\sin \Bigr\{\omega t-\tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \Bigr\}
\end{align}
であるときの瞬時電力\(p(t)\)は
\begin{align}
p(t)&=v(t)i(t)\\
&=V_m\sin(\omega t)\frac{V_m}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\sin \Bigr\{\omega t-\tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \Bigr\}\\
\end{align}
である。ここで，\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)\}\)より
\begin{align}
p(t) &=\frac{{V_m}^2}{2\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\biggr[ \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\} \biggr]\\
\end{align}
となり，有効電力\(P\)は，瞬時電力の時間平均であるから，周期を\(T\)として
\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{{V_m}^2}{2\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}\biggr[ \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\} \biggr] dt\\
\end{align}
ここで，\(T=1/f\)，\(\omega = 2 \pi f\) なので，\(T=2 \pi f / \omega \)より
\begin{align}
\int_0^T \cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\} dt=0\\
\end{align}
なので，
\begin{align}
P=\frac{{V_m}^2}{2\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}} \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
となる。また，皮相電力\(H\)と無効電力\(Q\)は
\begin{align}
H=\frac{{V_m}^2}{2\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}
\end{align}
\begin{align}
Q=\frac{{V_m}^2}{2\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}} \sin\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
である。\(V\)と\(I\)をそれぞれ，電圧電流の実効値とすれば
\begin{align}
V_m = \sqrt{2} V \\
I_m = \sqrt{2} I
\end{align}
となるので，有効電力，皮相電力及び無効電力は
\begin{align}
P=\frac{{V}^2}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}} \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
\begin{align}
H=\frac{{V}^2}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}}
\end{align}
\begin{align}
Q=\frac{{V}^2}{\sqrt{R^2+ {\omega}^2L^2}} \sin\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{\omega L}{R} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
となる。図は電流\(i(t)\)を基準としている。
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