RC直列回路
RC直列回路に電圧\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)を加え，求める電流\(i(t)\)を以下のようにおく
\begin{align}
i(t)=I_m\sin(\omega t+ \theta)
\end{align}
抵抗の電圧\(v_R(t)\)は，オームの法則より，抵抗を\(R\)として
\begin{align}
v_R(t)=RI_m\sin(\omega t+ \theta)
\end{align}
コンデンサの電圧\(v_C(t)\)は，静電容量を\(C\)[F]として
\begin{align}
v_C(t)&=\frac{1}{C}\int I_m\sin(\omega t+ \theta) dt \\
&=-\frac{I_m}{\omega C}\cos(\omega t+ \theta)
\end{align}
よって，電圧\(v(t)\)は
\begin{align}
v(t)&=v_R(t)+v_C(t)\\
&=RI_m\sin(\omega t+ \theta)-\frac{I_m}{\omega C}\cos(\omega t+ \theta)
\end{align}
となり，三角関数の合成より，以下のように変形する。
\begin{align}
v(t)&=\frac{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}} \Bigr\{ RI_m\sin(\omega t+ \theta)-\frac{I_m}{\omega C}\cos(\omega t+ \theta) \Bigr\} \\
&=I_m\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }} \biggr\{ \frac{R\sin(\omega t+ \theta)}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}} -\frac{\cos(\omega t+ \theta) }{\omega C\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}} \biggr\}
\end{align}
ここで、以下のように置くと
\begin{align}
\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}= \cos(\phi )>0\\
\frac{1}{\omega C\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}= \sin(\phi )>0
\end{align}
電圧\(v(t)\)は
\begin{align}
v(t)&=I_m\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }} \bigl\{ \sin(\omega t+ \theta )\cos(\phi )- \cos(\omega t+ \theta )\sin(\phi ) \bigr\} \\
&=I_m\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }} \sin (\omega t+ \theta -\phi)
\end{align}
加えた電圧\(v(t)=\sin(\omega t)\)と比較すると
\begin{align}
V_m&=I_m\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}\\
I_m&=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}\\
\omega t &= \omega t + \theta - \phi \\
\theta &= \phi
\end{align}
となり，\(\sin(\phi ) >0， \cos(\phi) >0 \)より
\begin{align}
\tan(\phi )&=\frac{\sin(\phi )}{\cos(\phi )}=\frac{\frac{1}{\omega C\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}}{\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}}=\frac{1}{\omega CR}\\
\phi &=\tan^{-1} \Bigr( \frac{1}{\omega C R} \Bigr)
\end{align}
より
\begin{align}
\theta &=\tan^{-1} \Bigr( \frac{1}{ \omega CR} \Bigr)
\end{align}
よって，求める電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\frac{1}{{\omega}^2C^2 }}}
\sin \Bigr\{\omega t+\tan^{-1} \Bigr( \frac{1}{\omega CR} \Bigr) \Bigr\}
\end{align}
となる。図の波形は電流\(i(t)\)を基準としている。
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