RC並列回路
RC並列回路に電圧\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)を加える，抵抗\(R\)を流れる電流\(i_R(t)\)は
\begin{align}
i_R(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)
\end{align}
コンデンサ\(C\)に流れる電流\(i_C(t)\)は
\begin{align}
i_C(t)&=C\frac{d}{dt}v(t)\\
&=CV_m\frac{d}{dt}\sin (\omega t)\\
&=\omega CV_m\cos (\omega t)
\end{align}
分流則より，電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=i_R(t)+i_C(t)\\
&=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)+\omega CV_m\cos (\omega t)
\end{align}
となり，三角関数の合成より，以下のように変形する
\begin{align}
i(t)&=\frac{\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2 }}{ \sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2 }} \biggr\{ \frac{V_m}{R}\sin(\omega t)+ \omega C V_m\cos (\omega t) \biggr\}\\
&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2 } \biggr\{
\frac{\sin(\omega t)}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2 }}+\frac{\omega C\cos (\omega t) }{\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2 }}\biggr\}
\end{align}
ここで以下のように置く
\begin{align}
\frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}= \cos(\phi )\\
\frac{\omega C}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}= \sin(\phi )
\end{align}
電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \bigr\{ \sin(\omega t) \cos(\phi) + \cos(\omega t) \sin(\phi) \bigr\} \\
&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \sin(\omega t+ \phi)
\end{align}
となり，\(\sin(\phi ) >0，\cos(\phi) >0 \)より
\begin{align}
\tan(\phi )&=\frac{\sin(\phi )}{\cos(\phi )}=\frac{\frac{\omega C}{ \sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}}{\frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}}= \omega CR\\
\phi &=\tan^{-1} \Bigr( \omega C R\Bigr)
\end{align}
よって，求める電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \sin \bigr\{ \omega t+ \tan^{-1} \bigr(\omega CR \bigr)\bigr\}
\end{align}
となる。図の波形は電流\(i(t)\)を基準としている。
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