RC並列回路
電圧と電流の位相差より電圧\(v(t)\)と電流\(i(t)\)の瞬時値が
\begin{align}
v(t)&=V_m\sin(\omega t)
\end{align}
\begin{align}
i(t)&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \sin \bigr\{ \omega t+ \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr)\bigr\}
\end{align}
であるときの瞬時電力\(p(t)\)は
\begin{align}
p(t)&=v(t)i(t)\\
&=V_m\sin(\omega t)V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \sin \biggr\{\omega t+ \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\}\\
\end{align}
である。ここで，\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)\}\)より
\begin{align}
p(t)=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}{2}\biggr[ \cos\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t+ \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr)\biggr\} \biggr]\\
\end{align}
となり，有効電力\(P\)は，瞬時電力の時間平均であるから，周期を\(T\)として
\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}{2}\biggr[ \cos\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t+ \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr)\biggr\} \biggr] dt\\
\end{align}
ここで，\(T=1/f\)，\(\omega = 2 \pi f\) なので，\(T=2 \pi f / \omega \)より
\begin{align}
\int_0^T \cos \biggr\{ 2\omega t+ \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr)\biggr\} dt =0
\end{align}
なので，
\begin{align}
P&=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}{2} \cos\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\}
\end{align}
となる。また，皮相電力\(H\)と無効電力\(Q\)は
\begin{align}
H=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}{2}
\end{align}
\begin{align}
Q=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}}{2} \sin\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\}
\end{align}
である。\(V\)と\(I\)をそれぞれ，電圧電流の実効値とすれば
\begin{align}
V_m = \sqrt{2} V \\
I_m = \sqrt{2} I
\end{align}
となるので，有効電力，皮相電力及び無効電力は
\begin{align}
P&={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \cos\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\}
\end{align}
\begin{align}
H={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2}
\end{align}
\begin{align}
Q={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+{\omega}^2C^2} \sin\biggr\{ - \tan^{-1} \bigr( \omega CR \bigr) \biggr\}
\end{align}
となる。図は電流\(i(t)\)を基準としている。
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