RL並列回路
RL並列回路に電圧\(v(t)=V_m\sin(\omega t)\)を加えると，抵抗\(R\)を流れる電流\(i_R(t)\)は
\begin{align}
i_R(t)=\frac{v(t)}{R}=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)
\end{align}
コイル\(L\)に流れる電流\(i_L(t)\)は
\begin{align}
i_L(t)&=\frac{1}{L}\int v(t)dt\\
&=\frac{V_m}{L} \int \sin (\omega t)dt\\
&=-\frac{V_m}{\omega L}\cos (\omega t)
\end{align}
となる。また，分流則より電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=i_R(t)+i_L(t)\\
&=\frac{V_m}{R}\sin(\omega t)-\frac{V_m}{\omega L}\cos (\omega t)
\end{align}
となり，三角関数の合成より，以下のように変形する
\begin{align}
i(t)&=\frac{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{ \sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}} \biggr\{ \frac{V_m}{R}\sin(\omega t)-\frac{V_m}{\omega L}\cos (\omega t) \biggr\}\\
&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \biggr\{
\frac{\sin(\omega t)}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}-\frac{\cos (\omega t) }{\omega L\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}\biggr\}
\end{align}
ここで以下のように置く
\begin{align}
\frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}= \cos(\phi )>0\\
\frac{1}{\omega L\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}= \sin(\phi )>0
\end{align}
電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \bigr\{ \sin(\omega t) \cos(\phi) - \cos(\omega t) \sin(\phi) \bigr\} \\
&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \sin(\omega t- \phi)
\end{align}
となり，\(\sin(\phi ) >0， \cos(\phi) >0 \)より
\begin{align}
\tan(\phi )&=\frac{\sin(\phi )}{\cos(\phi )}=\frac{\frac{1}{\omega L\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}}{\frac{1}{R\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}}=\frac{R}{\omega L}\\
\phi &=\tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr)
\end{align}
よって，求める電流\(i(t)\)は
\begin{align}
i(t)&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \sin \biggr\{
\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
となる。図の波形は電流\(i(t)\)を基準としている。
RL並列回路
電圧と電流
電力
フェーザ表示
複素数表示
電圧と電流の位相差
ホームに戻る