RL並列回路
電圧と電流の位相差より電圧\(v(t)\)と電流\(i(t)\)の瞬時値が
\begin{align}
v(t)&=V_m\sin(\omega t)\\
\end{align}
\begin{align}
i(t)&=V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \sin \biggr\{\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\}
\end{align}
であるときの瞬時電力\(p(t)\)は
\begin{align}
p(t)&=V_m\sin(\omega t)V_m\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \sin \biggr\{\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\}\\
\end{align}
である。ここで，\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)\}\)より
\begin{align}
p(t)&=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{2}\biggr[ \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\} \biggr]\\
\end{align}
となり，有効電力\(P\)は，瞬時電力の時間平均であるから，周期を\(T\)として
\begin{align}
P&=\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{2}\biggr[ \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\} \\
& - \cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\} \biggr] dt\\
\end{align}
ここで，\(T=1/f\)，\(\omega = 2 \pi f\) なので，\(T=2 \pi f / \omega \)より
\begin{align}
\cos \biggr\{ 2\omega t- \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr) \biggr\} dt=0
\end{align}
なので，
\begin{align}
P=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{2} \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr)\biggr\}
\end{align}
となる。また，皮相電力\(H\)と無効電力\(Q\)は
\begin{align}
H=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{2}
\end{align}
\begin{align}
Q=\frac{{V_m}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}}{2} \sin\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr)\biggr\}
\end{align}
である。\(V\)と\(I\)をそれぞれ，電圧電流の実効値とすれば
\begin{align}
V_m = \sqrt{2} V \\
I_m = \sqrt{2} I
\end{align}
となるので，有効電力，皮相電力及び無効電力は
\begin{align}
P={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \cos\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr)\biggr\}
\end{align}
\begin{align}
H={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }}
\end{align}
\begin{align}
Q={V}^2\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{{\omega}^2L^2 }} \sin\biggr\{ \tan^{-1} \Bigr( \frac{R}{\omega L} \Bigr)\biggr\}
\end{align}
となる。図は電流\(i(t)\)を基準としている。
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